Question

17．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高為5，其中一個側(cè)面的面積為10，另兩個側(cè)面面積之和為20．
（1）求該三棱柱的體積的最大值；
（2）當該三棱柱的體積取到最大值時，求三棱柱的表面積；
（3）當該三棱柱的體積取到最大值時，設(shè)O，O₁分別為△ABC，△A₁B₁C₁的重心，S在OO₁上，點P為三棱錐S-ABC側(cè)棱SA上的動點，若SA=4，求△PBC的周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得當AB=BC=AC=2時，該三棱柱的體積取最大值，由此能求出該三棱柱的體積的最大值．
（2）當該三棱柱的體積取到最大值時，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，由此能求出三棱柱的表面積．
（3）該三棱柱的體積取到最大值時，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，當PB⊥PA時，△PBC的周長取最小值，以O(shè)為原點，過O作CB平行線為x軸，OC為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出△PBC的周長的最小值．

解答 解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高為5，其中一個側(cè)面的面積為10，另兩個側(cè)面面積之和為20，
∴△ABC的一條邊長為$\frac{10}{5}=2$，另兩條邊長之和為：$\frac{20}{5}$=4，
設(shè)AB=2，BC+AC=4，則當AB=BC=AC=2時，該三棱柱的體積取最大值，
此時（S_△ABC）_max=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴V_max=（S_△ABC）_max•h=5$\sqrt{3}$．
（2）當該三棱柱的體積取到最大值時，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，
∴三棱柱的表面積S=2（S_△ABC）_max+3（5×2）=30+2$\sqrt{3}$．
（3）該三棱柱的體積取到最大值時，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，
當PB⊥PA時，△PBC的周長取最小值，
連結(jié)OA，則OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OS=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{33}}{3}$，
以O(shè)為原點，過O作CB平行線為x軸，OC為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），S（0，0，$\frac{2\sqrt{33}}{3}$），B（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），C（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
設(shè)P（a，b，c），$\overrightarrow{SA}$=（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{33}}{3}$），$\overrightarrow{SP}=λ\overrightarrow{SA}$，即（0，b，c-$\frac{2\sqrt{33}}{3}$）=（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$，-$\frac{2\sqrt{33}}{3}λ$），
∴P（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$，$\frac{2\sqrt{33}}{3}-\frac{2\sqrt{33}}{3}λ$），$\overrightarrow{BP}=（-1，-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2\sqrt{33}}{3}-\frac{2\sqrt{33}}{3}λ）$，
∵PB⊥PA，∴$\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{BP}$=0+$\frac{12}{9}λ+\frac{6}{9}-\frac{132}{9}+\frac{132}{9}λ=0$，解得$λ=\frac{7}{8}$，
∴P（0，-$\frac{7\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{33}}{12}$），$\overrightarrow{BP}=（-1，-\frac{11\sqrt{3}}{12}，\frac{\sqrt{33}}{12}）$，$\overrightarrow{BC}$=（1．-$\frac{11\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{33}}{12}$），
∴|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{1+\frac{363}{144}+\frac{33}{144}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴△PBC的周長的最小值為：$\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}+2$=2+$\sqrt{15}$．

點評 本題考查該三棱柱的體積的最大值、三棱柱的表面積和△PBC的周長的最小值的求地法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．