Question

8．過(guò)雙曲線(xiàn)x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 先求出F₁（-2，0），從而可以寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，代入雙曲線(xiàn)方程便可得到8x²-4x-13=0，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理便可得出x₁+x₂，進(jìn)一步求出y₁+y₂，從而便可得出中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：根據(jù)雙曲線(xiàn)方程，c=2；
∴F₁（-2，0）；
∴直線(xiàn)l的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，代入雙曲線(xiàn)方程消去y得：8x²-4x-13=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}+4）=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，以及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式．