Question

8．過雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點F₁作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線l交雙曲線于A、B兩點，求線段AB的中點M的坐標．

Answer 1

分析 先求出F₁（-2，0），從而可以寫出直線l的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，代入雙曲線方程便可得到8x²-4x-13=0，可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據韋達定理便可得出x₁+x₂，進一步求出y₁+y₂，從而便可得出中點M的坐標．

解答 解：根據雙曲線方程，c=2；
∴F₁（-2，0）；
∴直線l的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，代入雙曲線方程消去y得：8x²-4x-13=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}+4）=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
∴線段AB的中點M的坐標為（$\frac{1}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

點評 考查雙曲線的標準方程，雙曲線的焦點，以及直線的點斜式方程，韋達定理，中點坐標公式．