13.已知f(x)為二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x-1)=4x.
(1)求f(2);
(2)求f(x)的解析式;
(3)判斷f(x)的奇偶性并給出證明.

分析 (1)根據(jù)f(x+1)-f(x-1)-4x令x=1,可得f(2);
(2)根據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f(x)的解析式,將已知條件代入,列出方程,令方程兩邊的對應系數(shù)相等解得答案.
(3)根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)奇偶性的定義,可得答案.

解答 解:(1)∵f(0)=1,f(x+1)-f(x-1)=4x.
當x=1時,f(2)-f(0)=f(2)-1=4.
∴f(2)=5;
(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c
∵f(0)=c=1,f(x+1)-f(x)=4x,
∴[a(x+1)2+b(x+1)+c]-[a(x-1)2+b(x-1)+c]=4ax+2b=4x,
∴4a=4,2b=0,解得a=1,b=0,
則函數(shù)f(x)的表達式為f(x)=x2+1;
(3)∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
故f(x)為偶函數(shù).

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.

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