Question

3．已知數(shù)列{a_n}中a_n＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n=$\frac{1}{4}$（a${\;}_{n}^{2}$+2a_n+1），等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=3ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{（-1）ⁿa_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)c_n=2${\;}^{1+{a}_{n}}$+（-1）ⁿt•b_n（t為非零整數(shù)，n∈N^*），若對(duì)任意n∈N^*，c_n+1＞c_n恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}^{2}+2{a}_{1}+1）$，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n＞0，可得：a_n-a_n-1=2．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）設(shè)數(shù)列{（-1）ⁿa_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為A_n，B_n．B_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時(shí)，A_n=-a₁+a₂-a₃+a₄+…-a_2k-1+a_2k=n．可得T_n．當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時(shí)，A_n=A_n-1-a_n．可得T_n．
（3）c_n=2${\;}^{1+{a}_{n}}$+（-1）ⁿt•b_n=4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．c_n+1＞c_n即：4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ⁺¹t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n=$\frac{1}{4}$（a${\;}_{n}^{2}$+2a_n+1），
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}^{2}+2{a}_{1}+1）$，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}+1）$，∴4a_n=$（{a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-{a}_{n-1}^{2}-2{a}_{n-1}）$，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴可得：a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）設(shè)數(shù)列{（-1）ⁿa_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為A_n，B_n．
B_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時(shí)，A_n=-a₁+a₂-a₃+a₄+…-a_2k-1+a_2k=（3-1）+（5-3）+…+[2k-（2k-1）]=2k=n．T_n=n+$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時(shí)，A_n=A_n-1-a_n=（n-1）-（2n-1）=-n．T_n=-n+$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+\frac{3}{2}（{3}^{n}-1），n為偶數(shù)}\\{-n+\frac{3}{2}（{3}^{n}-1），n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．
（3）c_n=2${\;}^{1+{a}_{n}}$+（-1）ⁿt•b_n=4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．
c_n+1＞c_n即：4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ⁺¹t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ+（-1）ⁿt•3ⁿ．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得4ⁿ⁺¹-t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ+t•3ⁿ，化為t＜$（\frac{4}{3}）^{n-1}$，∴$t＜\frac{4}{3}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可得4ⁿ⁺¹+t•3ⁿ⁺¹＞4ⁿ-t•3ⁿ，化為$t＞-（\frac{4}{3}）^{n-1}$，∴t＞-1．
綜上可得：$-1＜t＜\frac{4}{3}$，
∵t為非零整數(shù)，∴t=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．