Question

2．在三棱錐A-BCD中，點(diǎn)A在BD上的射影為O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）若E是AC的中點(diǎn)，求直線BE和平面BCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，由題意可得AO⊥BD，由勾股定理的逆定理可得AO⊥CO，運(yùn)用線面垂直的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）取CO的中點(diǎn)H，連接EH，運(yùn)用中位線定理和線面垂直的性質(zhì)定理，可得EH⊥平面BCD，即有∠EBH為直線BE和平面BCD所成角．運(yùn)用正切函數(shù)的定義，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接OC，由點(diǎn)A在BD上的射影為O，可得
AO⊥BD，
由∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2$\sqrt{3}$，可得
BD=$\sqrt{4+12}$=4，AO=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
同理可得CO=$\sqrt{3}$，由AO²+CO²=AC²，可得AO⊥CO，
又BD，CO?平面BCD，且BD，CO為相交二直線，
可得AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）取CO的中點(diǎn)H，連接EH，
由中位線定理可得EH∥AO，EH=$\frac{1}{2}$AO，
由AO⊥平面BCD，可得EH⊥平面BCD，
即有∠EBH為直線BE和平面BCD所成角．
又EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-\frac{A{C}^{2}}{4}}$=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
BH=$\sqrt{B{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{\frac{10}{4}-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
可得tan∠EBH=$\frac{EH}{BH}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
即有直線BE和平面BCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，注意運(yùn)用線面垂直的判定定理，考查線面所成角的正切值，注意運(yùn)用中位線定理和線面所成角的定義，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．