Question

1．已知f（x）=$\sqrt{（a+2）{x}^{2}+bx+a+2}$（a，b∈R）定義域為R，則3a+b的取值范圍為[-6，+∞）．

Answer 1

分析 分類求解，當a+2=0時，求得b=0，得到3a+b=-6；當a+2≠0時，得到$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{-2（a+2）≤b≤2（a+2）}\end{array}\right.$，利用線性規(guī)劃知識求出3a+b的取值范圍，取并集得答案．

解答 解：當a+2=0時，要使f（x）=$\sqrt{（a+2）{x}^{2}+bx+a+2}$（a，b∈R）定義域為R，
則b=0，此時3a+b=-6；
當a+2≠0時，要使f（x）=$\sqrt{（a+2）{x}^{2}+bx+a+2}$（a，b∈R）定義域為R，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{^{2}-4（a+2）^{2}≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{-2（a+2）≤b≤2（a+2）}\end{array}\right.$．
作出可行域如圖，
令z=3a+b，
化為b=-3a+z，
由圖可知，當直線b=-3a+z過點（-2，0）時，直線在b軸上的截距最小，z有最小值為-6．
∴3a+b的取值范圍為[-6，+∞）．
故答案為：[-6，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了簡單的線性規(guī)劃，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．