Question

13．如圖，OA是南北方向的一條公路，OB是北偏東45°方向的一條公路，某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線C．為方便游客光，擬過曲線C上的某點(diǎn)分別修建與公路OA，OB垂直的兩條道路PM，PN，且PM，PN的造價(jià)分別為5萬元/百米，40萬元/百米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy，則曲線符合函數(shù)y=x+$\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}$（1≤x≤9）模型，設(shè)PM=x，修建兩條道路PM，PN的總造價(jià)為f（x）萬元，題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米．
（1）求f（x）解析式；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，總造價(jià)f（x）最低？并求出最低造價(jià)．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐標(biāo)，直線OB的方程，點(diǎn)P到直線x-y=0的距離，即可求f（x）解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的方法最低造價(jià)．

解答 解：（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，因?yàn)榍�線C的方程為$y=x+\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}（{1≤x≤9}）$，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為$（{x，x+\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}}）$，
直線OB的方程為x-y=0，…（2分）
則點(diǎn)P到直線x-y=0的距離為$\frac{{|{x-（{x+\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}}）}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{4}{x^2}$，…（4分）
又PM的造價(jià)為5萬元/百米，PN的造價(jià)為40萬元/百米．
則兩條道路總造價(jià)為$f（x）=5x+40•\frac{4}{x^2}=5（{x+\frac{32}{x^2}}）（{1≤x≤9}）$． …（8分）
（2）因?yàn)?f（x）=5x+40•\frac{4}{x^2}=5（{x+\frac{32}{x^2}}）（{1≤x≤9}）$，
所以$f'（x）=5（{1-\frac{64}{x^3}}）=\frac{{5（{x^3}-64）}}{x^3}$，…（10分）
令f'（x）=0，得x=4，列表如下：

x	（1，4）	4	（4，9）
f'（x）	-	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，最小值為$f（4）=5（{4+\frac{32}{4^2}}）=30$．…（13分）
答：（1）兩條道路PM，PN總造價(jià)f（x）為$f（x）=5（{x+\frac{32}{x^2}}）$（1≤x≤9）；
（2）當(dāng)x=4時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為30萬元．    …（14分）
（注：利用三次均值不等式$f（x）=5（{x+\frac{32}{x^2}}）=5（{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{32}{x^2}}）≥5×3\root{3}{8}=30$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=\frac{32}{x^2}$，即x=4時(shí)等號(hào)成立，照樣給分．）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．