Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，AB⊥AC，D為BC中點．AB₁與A₁B交于點O．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求證：A₁B⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）在線段B₁C上是否存在點E，使得BC⊥AE？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：連結OD，可證OD為△A₁BC的中位線，可得OD∥A₁C，即可判定A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可證AC⊥平面AA₁B₁B，從而可得AC⊥A₁B，又A₁B⊥AB₁，AC∩AB₁=A，即可證明A₁B⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）取B₁C中點E，連結DE，AE，可證DE⊥BC，AD⊥BC，從而證明BC⊥平面ADE，進而可證BC⊥AE，即可得解．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）證明：連結OD．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
因為 AB=AA₁，
所以 四邊形AA₁B₁B為正方形，
所以 O為A₁B中點．
因為 D為BC中點，
所以 OD為△A₁BC的中位線，
所以 OD∥A₁C．
因為 A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AC⊥AA₁，AA₁∩AB=A，
所以 AC⊥平面AA₁B₁B，
所以AC⊥A₁B．
在正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，AC∩AB₁=A
所以 A₁B⊥平面AB₁C．…（9分）
（Ⅲ） 存在
取B₁C中點E，連結DE，AE．
所以DE∥BB₁．
所以DE⊥BC．
因為AB=AC，D為BC中點，
所以AD⊥BC．
因為AD∩DE=D，
所以BC⊥平面ADE．
所以BC⊥AE．
所以 當E為B₁C中點時，BC⊥AE．…（14分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．