Question

3．記[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)．設(shè)集合A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|[x]²+[y]²≤1}．則A∪B所表示的平面區(qū)域的面積為5+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 討論x∈[-1，0）與x∈[0，1）和x∈[1，2）時，化簡集合B，求出A∪B所表示的平面區(qū)域所對應(yīng)的面積．

解答 解：集合A表示一個以原點（0，0）為圓心的單位圓（即半徑為1的圓）；
集合B可以這樣考慮：當(dāng)x∈[-1，0）時，[x]=-1，于是[y]=0，y∈[0，1）；
當(dāng)x∈[0，1）時，[x]=0，于是[y]=-1或0或1，y∈[-1，2）；
當(dāng)x∈[1，2）時，[x]=1，于是[y]=0，y∈[0，1）；
畫出圖形，如圖所示；

所以A∪B所表示的平面區(qū)域由五個單位正方形和第三象限的$\frac{1}{4}$單位圓構(gòu)成，
其面積為$5+\frac{π}{4}$．
故答案為：5+$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了不等式表示平面區(qū)域的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．