Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條弦所在的直線的方程為x-y+3=0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 設(shè)出以M為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程相減，把中點(diǎn)公式代入，可得弦的斜率與a，b的關(guān)系式．從而求得橢圓的離心率．

解答 解：顯然M（-2，1）在橢圓內(nèi)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，相減得：$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{2}+{y}_{1}）（{y}_{2}-{y}_{1}）}{^{2}}$=0，
整理得：k=-$\frac{^{2}（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}+{y}_{1}）}$=1，
又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}+{x}_{1}=-4\\{y}_{2}{+y}_{1}=2\end{array}\right.$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
則橢圓的離心率是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
橢圓的離心率：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，中點(diǎn)公式及斜率公式的應(yīng)用，以及直線方程，屬于基礎(chǔ)題．本題解題中直接利用點(diǎn)差法巧妙用上了中點(diǎn)坐標(biāo)公式與弦的斜率，方法極為巧妙，此方法即為通常所說(shuō)的點(diǎn)差法，研究弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常采用此方法．