Question

已知f（x）=ax³+x²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖象與x軸的一個交點為（2，0）．若f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)，在[4，5]上是減函數(shù)．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求d的取值范圍；
（Ⅲ）在函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在一點M（x₀，y₀），使得曲線y=f（x）在點M處的切線斜率為3？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），由f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)知x=0為函數(shù)的一個極值點，由此列方程f′（0）=0即可解得c的值
（II）將函數(shù)f（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f′（x）的零點分布問題，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[4，5]上是減函數(shù)，說明f′（x）的正零點在[2，4]內(nèi)，解不等式即可
（III）假設存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，則f′（x₀）=3有解，而根據(jù)（II）問的計算，此方程的判別式小于零，故而無解，故此點不存在

解答： 解：（I）對函數(shù)f（x）=ax³+x²+cx+d求導數(shù)，得，f′（x）=3ax²+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在x=0處有極小值，
∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax³+x²+d∴f′（x）=3ax²+2x
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=-

2

3a

∵f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[4，5]上是減函數(shù)
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x₂∈[2，4]
即

- 2 3a ≥2 - 2 3a ≤4

∴-6≤

1

a

≤-3
∴-

1

3

≤a≤-

1

6

．
又f（x）=ax³+x²+d是定義在R上的函數(shù)，其圖象與x軸的一個交點為（2，0）．
∴f（2）=0，即8a+4+d=0，a=-

1

2

-

d

8

，
∴-

1

3

≤-

1

2

-

d

8

≤-

1

6

．
∴-

4

3

≤d≤-

4

3

．
（III）假設存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，
則f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a
∵-

1

3

≤a≤-

1

6

．
∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0無實數(shù)根
∴f′（x₀）=3不成立
∴不存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3．

點評：本題考查了導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應用，函數(shù)與其導函數(shù)的圖象性質(zhì)間的關系，導數(shù)的幾何意義等知識，屬于難題．