Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求證：角C為直角；
（2）已知點(diǎn)D在線段BC上，且$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，求線段AD的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直的條件，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），由$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，得到關(guān)于x，y的方程組，解得即可，再根據(jù)向量模的運(yùn)算，即可得到答案．

解答 解：（1）由題設(shè)知$\overrightarrow{AC}$=（1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-4，-4），則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（-1）×（-4）+1×（-4）=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
故角C為直角． 
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），由$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，
求得（x-2，y-3）=3（-2-x，-1-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=-6-3x}\\{y=3=-3-3y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），又點(diǎn)A（-1，-2），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2），
所以AD=2．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向垂直和向量的模，屬于基礎(chǔ)題．