Question

18．已知函數(shù)f（x）=mx+$\frac{n}{x}$以（1，a）為切點的切線方程是3x+y-8=0．
（Ⅰ）求實數(shù)m，n的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）切線傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)切線方程能夠求出切點（1，5），求f′（x）=m-$\frac{n}{{x}^{2}}$，從而根據(jù)切線斜率及切點在f（x）上可得到$\left\{\begin{array}{l}{m+n=5}\\{m-n=-3}\end{array}\right.$，解方程組即得m=1，n=4；
（Ⅱ）上面求出了m，n，從而得出f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由f′（x）=$1-\frac{4}{{x}^{2}}$便知tanα=$1-\frac{4}{{x}^{2}}＜1$，結(jié)合正切函數(shù)的圖象即可寫出切線傾斜角α的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）切點（1，a）在切線3x+y-8=0上；
∴3+a-8=0；
∴a=5；
∴切點為（1，5）；
又f′（x）=m$-\frac{n}{{x}^{2}}$，切點在函數(shù)f（x）的圖象上，切線方程斜率為k=-3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=5}\\{m-n=-3}\end{array}\right.$；
解得m=1，n=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f′（x）=\frac{（x+2）（x-2）}{{x}^{2}}$；
∴x＜-2時，f′（x）＞0，-2＜x＜0時，f′（x）＜0，0＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2]，[2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-2，0），（0，2）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，$f′（x）=1-\frac{4}{{x}^{2}}＜1$；
∴tanα＜1；
∴函數(shù)f（x）切線傾斜角α的取值范圍是[$0，\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{2}，π$）．

點評 考查過f（x）上一點的切線的斜率和函數(shù)f（x）在該點處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，要熟悉正切函數(shù)的圖象，要清楚直線傾斜角的范圍．