Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=cos2πx+kcosπx，若對于任意的x₁∈R，總存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≥2$\sqrt{2}$或k$≤-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 對于任意的x₁∈R，總存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），只須讓函數(shù)f（x）在x₁∈R的值域是函數(shù)g（x）值域的子集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=2，即有f（x）∈（0，2]；
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）為奇函數(shù)，則有f（x）∈[-2，0）．
則f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．
g（x）=cos2πx+kcosπx=2cos²πx+kcosπx-1=2（cosπx+$\frac{k}{4}$）²-$\frac{{k}^{2}}{8}$-1，
由-1≤cosπx≤1，
當(dāng)-$\frac{k}{4}$≤-1即k≥4時(shí)，g（x）的最小值為2-k-1=1-k，最大值為1+k；
當(dāng)-$\frac{k}{4}$≥1即k≤-4時(shí)，g（x）的最小值為2-k+1=1+k，最大值為1-k；
當(dāng)-1＜-$\frac{k}{4}$＜1，即-4＜k＜4時(shí)，g（x）的最小值為-$\frac{{k}^{2}}{8}$-1，最大值為1+k或1-k．
對于任意的x₁∈R，總存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
須讓函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）值域的子集．
由$\left\{\begin{array}{l}{k≥4}\\{1-k≤-2}\\{1+k≥2}\end{array}\right.$解得k≥4；
由$\left\{\begin{array}{l}{k≤-4}\\{1+k≤-2}\\{1-k≥2}\end{array}\right.$解得k≤-4；
由$\left\{\begin{array}{l}{-4＜k≤0}\\{-\frac{{k}^{2}}{8}-1≤-2}\\{1-k≥2}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{-4＜k≤0}\\{k≥2\sqrt{2}或k≤-2\sqrt{2}}\\{k≤-1}\end{array}\right.$即為-4＜k≤-2$\sqrt{2}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜4}\\{-\frac{{k}^{2}}{8}-1≤-2}\\{1+k≥2}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜4}\\{k≥2\sqrt{2}或k≤-2\sqrt{2}}\\{k≥1}\end{array}\right.$，可得2$\sqrt{2}$≤k＜4．
則有實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≥2$\sqrt{2}$或k$≤-2\sqrt{2}$．
故答案為：k≥2$\sqrt{2}$或k$≤-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是把任意性和存在性問題轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)函數(shù)的值域問題解決．