Question

已知

1

3

≤a≤1，若函數(shù)f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)表達式；
（2）判斷函數(shù)g（a）在區(qū)間[

1

3

，1]上的單調(diào)性，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）明確f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=

1

a

，由

1

3

≤a≤1，知1≤

1

a

≤3，可知f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．由a的符號進行分類討論，能求出g（a）的解析式；
（2）根據(jù)（1）的解答求g（a）的最值．

解答： 解：f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=

1

a

，
∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3，
∴f（x）在[1，3]上的最小值f（x）_min=N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
∵f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），
∴①當1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1時，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6．
②當2＜

1

a

≤3時．即

1

3

≤a＜

1

2

時，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2．
∴g（a）=

9a+ 1 a -6， 1 2 ≤a≤1 a+ 1 a -2， 1 3 ≤a＜ 1 2

．
（2）由（1）可知當

1

2

≤a≤1時，g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6≥0，當且僅當a=

1

3

時取等號，所以它在[

1

2

，1]上單調(diào)遞增；
當

1

3

≤a＜

1

2

時，g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2≥0，當且僅當a=1時取等號，所以g（a）在[

1

3

，

1

2

]單調(diào)遞減．
∴g（a）的最小值為g（

1

2

）=9×

1

2

+2-6=

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法以及分段函數(shù)的最值求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．