Question

1．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），若tan（α+β）=2tanβ，則當(dāng)α取最大值時(shí)，tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan2α=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 由題意tanα=$\frac{tanβ}{1+{2tan}^{2}β}$，再變形利用基本不等式求得當(dāng)tanα取最大值時(shí)tanβ的值，再根據(jù)tanα的值利用二倍角公式求得tan2α的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），若tan（α+β）=2tanβ，∴tanα＞0，tanβ＞0，
∵tan（α+β）=2tanβ，可得：$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanβ，
∴整理可得：tanα=$\frac{tanβ}{1+{2tan}^{2}β}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanβ}+2tanβ}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{tanβ}$=2tanβ，即tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，tanα_max=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，α取得最大值，
此時(shí)，可得：tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了兩角和與差公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、基本不等式，熟練掌握公式解題的關(guān)鍵，此題綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．