Question

2．已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），A（2，1），B（4，-3），且$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，點(diǎn)Q是直線(xiàn)OB上一點(diǎn)．
（1）若λ=1，且$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{OP}$=0，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）如已知點(diǎn)M（3，2），向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OM}$夾角為銳角，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知求出P的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）由$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，把P的坐標(biāo)用含有λ的代數(shù)式表示，結(jié)合向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OM}$夾角為銳角求出λ的范圍，去掉共線(xiàn)的情況得答案．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$，設(shè)P（x₁，y₁），
∵A（2，1），B（4，-3），
∴$\overrightarrow{AP}=（{x}_{1}-2，{y}_{1}-1），\overrightarrow{PB}=（4-{x}_{1}，-3-{y}_{1}）$，
由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2=4-{x}_{1}}\\{{y}_{1}-1=-3-{y}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
∴P（3，-1），
設(shè)Q（x₂，y₂），則$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{2}-3，{y}_{2}+1）$，
由$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{OP}$=0，得3（x₂-3）-y₂-1=0，
即3x₂-y₂-10=0，①
由$\overrightarrow{OQ}∥\overrightarrow{OB}$，得-3x₂-4y₂=0，②
聯(lián)立①②，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{8}{3}}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{8}{3}，-2$）；
（2）由（1）得$\overrightarrow{AP}=（{x}_{1}-2，{y}_{1}-1），\overrightarrow{PB}=（4-{x}_{1}，-3-{y}_{1}）$，
又$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，∴（x₁-2，y₁-1）=λ（4-x₁，-3-y₁），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2=4λ-λ{(lán)x}_{1}}\\{{y}_{1}-1=-3λ-λ{(lán)y}_{1}}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{4λ+2}{λ+1}}\\{{y}_{1}=\frac{1-3λ}{λ+1}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4λ+2}{λ+1}，\frac{1-3λ}{λ+1}$），
又點(diǎn)M（3，2），且向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OM}$夾角為銳角，
∴$\frac{3（4λ+2）}{λ+1}+\frac{2（1-3λ）}{λ+1}＞0$，解得$λ＜-\frac{4}{3}$或λ＞-1．
當(dāng)向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OM}$共線(xiàn)時(shí)，得$\frac{8λ+4}{λ+1}-\frac{3-9λ}{λ+1}=0$，即$λ=-\frac{1}{17}$，
∴當(dāng)向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OM}$夾角為銳角時(shí)，λ的取值范圍為$（-∞，-\frac{4}{3}）∪（-1，-\frac{1}{17}）∪（-\frac{1}{17}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，在平面向量與函數(shù)的綜合問(wèn)題中，向量的數(shù)量積、向量的平行及向量的垂直一般是作為轉(zhuǎn)化的基本工具，最后轉(zhuǎn)化為方程或不等式求解，是中檔題．