Question

10．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$，其中b＞0，若f（x）的定義域與值域相同，則非零實(shí)數(shù)a的值為-4．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的定義域與值域相同，故可以求出參數(shù)表示的函數(shù)的定義域與值域，由兩者相同，故比較二區(qū)間的端點(diǎn)得出參數(shù)滿足的方程解方程求參數(shù)即可．

解答 解：若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴對(duì)于正數(shù)b，f（x）的定義域?yàn)椋篋=（-∞，-$\frac{a}$]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，對(duì)于正數(shù)b，f（x）的定義域?yàn)?D=[0，-$\frac{a}$]．
由于此時(shí)[f（x）]_max=f（-$\frac{2a}$）=$\frac{2\sqrt{-a}}$，
故函數(shù)的值域 A=[0，$\frac{2\sqrt{-a}}$]．
由題意，有-$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{-a}}$，
由于b＞0，所以a=-4．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的值域，以及函數(shù)的定義域和解方程，屬于中檔題．