Question

3．計算：
（1）$\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}$+（$\frac{\sqrt{2}}{1-i}$）²⁰¹⁴；
（2）（1+$\sqrt{3}$i）¹⁰⁰．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求解．
（2）先求出（1+$\sqrt{3}$i）⁴=-8（1+$\sqrt{3}$i），從而（1+$\sqrt{3}i$）³=-8，由此能求出（1+$\sqrt{3}$i）¹⁰⁰．

解答 解：（1）$\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}$+（$\frac{\sqrt{2}}{1-i}$）²⁰¹⁴
=$\frac{（-2\sqrt{3}+i）（1-2\sqrt{3}i）}{（1+2\sqrt{3}i）（1-2\sqrt{3}i）}$+$\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{[（1-i）^{2}]^{1007}}$
=i+$\frac{1}{-i}$
=i+i
=2i．
（2）∵（1+$\sqrt{3}$i）⁴
=[（1+$\sqrt{3}i$）²]²
=（-2+2$\sqrt{3}i$）²
=-8（1+$\sqrt{3}$i），
∴（1+$\sqrt{3}i$）³=$\frac{（1+\sqrt{3}i）^{4}}{1+\sqrt{3}i}$=-8，
（1+$\sqrt{3}$i）¹⁰⁰
=[（1+$\sqrt{3}i$）³]${\;}^{\frac{100}{3}}$
=（-8）${\;}^{\frac{100}{3}}$
=-2¹⁰⁰．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，是基礎題，解題時要認真審題，注意復數(shù)運算法則的合理運用．