Question

18．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P是BC的中點(diǎn)，Q是CD上的動點(diǎn)．
（I）求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的最小值；
（Ⅱ）求（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$）$•\overrightarrow{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算以及函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值；
（Ⅱ）根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算即可求出．

解答 解：（I）以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系如圖所示，
∴A（0，0），（D（0，2），P（1，1），
設(shè)Q為（x，2），（0≤x≤1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，1），$\overrightarrow{AQ}$=（x，2），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=x+2
設(shè)f（x）=x+2，
易知f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=2，
故$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的最小值為2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，$\overrightarrow{AD}$=（0，2），$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AQ}$=（1+x，3）
∴（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$）$•\overrightarrow{AD}$=6．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．