Question

16．已知f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$，g（x）圖象由f（x）向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍，縱坐標(biāo)縮為原來(lái)的m（0＜m＜$\frac{1}{2}$）．向上平移一個(gè)單位得到．
（1）求f（x）最小正周期和遞減區(qū)間；
（2）求g（x）的表達(dá)式；
（3）判斷g（x）=x實(shí)根個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由和差角公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），易得最小正周期和遞減區(qū)間；
（2）由圖象變換的規(guī)則，逐步變換可得；
（3）作出函數(shù)y=x和g（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2sinxcosx+$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（2）由圖象變換可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位得到y(tǒng)=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，
再橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍得到y(tǒng)=sinx，然后縱坐標(biāo)縮為原來(lái)的m倍得到y(tǒng)=msinx，
再向上平移一個(gè)單位得到g（x）=msinx+1；
（3）作出函數(shù)y=x和g（x）=msinx+1，（0＜m＜$\frac{1}{2}$）的圖象，
可得g（x）=x實(shí)根個(gè)數(shù)為1

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及圖象變換，屬中檔題．