Question

3．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數(shù)$g（x）=sinx•f（\frac{x}{2}）+\sqrt{3}$，$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求g（x）的最值及其對應的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，根據(jù)特殊點的坐標求出A，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由條件利用三角恒等變換化簡g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）的最值及其對應的x值．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的部分圖象，
可得T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
由五點法作圖可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=π，求得ϕ=$\frac{π}{6}$．
再根據(jù)Asin$\frac{π}{6}$=1，求得A=2，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）$g（x）=sinx•2sin（x+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$=$sinx•2（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$=$sinx•（\sqrt{3}sinx+cosx）+\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}{sin^2}x+sinxcosx+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$=$sin（2x-\frac{π}{3}）+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，∴$g（x）∈[\sqrt{3}，1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}]$．
∴當x=0時$g{（x）_{min}}=\sqrt{3}$；當$x=\frac{5π}{12}$時$g{（x）_{max}}=1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．還考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．