Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到直線x-y+1=0的距離為

2

．
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作兩條直線分別交拋物線于A、B和C、D，過(guò)點(diǎn)F作垂直于x軸的直線分別交AC和BD于點(diǎn)M，N．求證：|MF|=|NF|．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到直線x-y+1=0的距離為

2

，求出p的值，即可求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為：x=m₁y+1，直線CD的方程為：x=m₂y+1，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求出直線AC、BD的方程，將x=1代入，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）焦點(diǎn)F（

p

2

，0），由已知得

| p 2 +1|

2

=

2

，且p＞0，解得p=2，
故所求拋物線的方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線AB的方程為：x=m₁y+1，直線CD的方程為：x=m₂y+1，
令A(yù)（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），C（

y32

4

，y₃），D（

y42

4

，y₄）
將x=m₁y+1代入拋物線方程得：y²-4m₁y-4=0
于是有：y₁+y₂=4m₁，y₁y₂=-4
同理得：y₃+y₄=4m₂，y₃y₄=-4，
故A（

y12

4

，y₁），B（

4

y12

，-

4

y1

），C（

y32

4

，y₃），D（

4

y32

，-

4

y3

）
所以直線AC的方程為：y-y₁=

4

y1+y3

（x-

y12

4

），①
直線BD的方程為：y-

4

y1

=-

y1y3

y1+y3

（x-

4

y12

），②
將x=1代入①式得：y_M=

4+y1y3

y1+y3

將x=1代入②式得：y_N=-

4+y1y3

y1+y3

所以y_M=-y_N，即：|MF|=|NF|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．