Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且AD=2PA，E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC∥平面EFG；
（Ⅱ）求證：DH⊥平面AEG．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理得AD∥EF，由平行公理得BC∥EF，由此能證明BC∥平面EFG．
（Ⅱ）由線面垂直得PA⊥DH，即AE⊥DH，由三角形全等得DH⊥AG，由此能證明DH⊥平面AEG．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD中點(diǎn)，所以AD∥EF，
因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥EF，…（2分）
因?yàn)锽C?平面EFG，EF?平面EFG，…（4分）
所以BC∥平面EFG．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DH，
即AE⊥DH，…（8分）
因?yàn)椤鰽DG≌△DCH，
所以∠HDC=∠DAG，
∠AGD+∠DAG=90°，
所以∠AGD+∠HDC=90°，
所以DH⊥AG，
又因?yàn)锳E∩AG=A，所以DH⊥平面AEG．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．