Question

13．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通過∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，可得直線PQ過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸，從而△F₁PQ為等邊三角形，△F₁PF₂為直角三角形，計(jì)算即可•

解答 解：∵過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，
∴直線PQ過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸，即△F₁PQ為等邊三角形，△F₁PF₂為直角三角形，
∵F₁P+F₁Q+PQ=4a，∴F₁P+PF₂=2a，
又∵F₁P=2PF₂，F(xiàn)₁F₂=2c，
∴F₁P=$\frac{4}{3}a$，PF₂=$\frac{2}{3}a$，
由勾股定理，得$（\frac{4}{3}a）^{2}=（\frac{2}{3}a）^{2}+（2c）^{2}$，即a²=3c²，
∴e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$•

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，勾股定理，挖掘隱含信息“直線PQ過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸”是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．