Question

1．公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₅=15，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$，證明：b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由已知得到首項和公差的兩個關(guān)系式，求出首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案．（2）利用放縮法及列項相消法得證．

解答 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，設(shè)其首項為a₁，公差為d，
∵S₅=15，∴${5}_{{a}_{1}}+\frac{5×4}{2}d=15$，①
 又∵a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴${{a}_{4}}^{2}={a}^{2}•{a}^{8}$，即${（a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）$，②
∴由①，②得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∴{a_n}的通項公式為a_n=n．
（2）∵b_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{1×2}+$$\frac{1}{2×3}+$…$\frac{1}{（n-1）n}$
=1$+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$$-\frac{1}{n}$
=$2-\frac{1}{n}$＜2，
∴b_n＜2

點評 本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用及不等式的應(yīng)用，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)．