Question

3．在北京召開的國際數(shù)學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是$\frac{1}{25}$，則sin²θ-cos²θ的值等于（　�。�

• A． 1
• B． -$\frac{7}{25}$
• C． $\frac{7}{25}$
• D． -$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 求出每個直角三角形的長直角邊，短直角邊的長，推出小正方形的邊長，先利用小正方形的面積求得（cosθ-sinθ）²的值，判斷出cosθ＞sinθ  求得cosθ-sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）²的進而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin²θ-cos²θ展開后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．

解答 解：依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，
小正方形的邊長為cosθ-sinθ，
∵小正方形的面積是$\frac{1}{25}$，
∴（cosθ-sinθ）²=$\frac{1}{25}$
又θ為直角三角形中較小的銳角，
∴cosθ＞sinθ       
∴cosθ-sinθ=$\frac{1}{5}$      
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$
∴2cosθsinθ=$\frac{24}{25}$
∴1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$
即（cosθ+sinθ）²=$\frac{49}{25}$
∴cosθ+sinθ=$\frac{7}{5}$  
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-$\frac{1}{5}×\frac{7}{5}$=-$\frac{7}{25}$
故選：B．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關系．考查了學生綜合分析推理和基本的運算能力．