Question

7．設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，且3，2+2a₂，S₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=log₃a_n+1，求$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程即可得到所求通項；
（2）求得b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，再由裂項相消求和即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=1，且3，2+2a₂，S₃成等差數(shù)列，
可得3+S₃=4+4a₂，
即有3+1+q+q²=4+4q，
解得q=3（0舍去），
則a_n=a₁q^n-1=3^n-1；
（2）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，屬于中檔題．