Question

18．某手機銷售商對某市市民進行手機品牌認可度的調查，在已購買某品牌手機的500名市民中，隨機抽樣100名，按年齡進行統(tǒng)計的頻率分布表和頻率分布直方圖如下：

分組（歲）	頻數(shù)	頻率
[20，25）	5	0.05
[25，30）	20	0.2
[30，35）	①	0.35
[35，40）	30	0.3
[40，45）	10	②
合計	100	1.0

（1）頻率分布表中①②應填什么數(shù)？補全頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名市民的平均年齡；
（2）在抽出的這100市民中，按分層抽樣抽取20人參加宣傳活動，從20人中隨機選取2人各贈送一部手機，設這兩名市民中年齡低于30歲的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布表和頻率分布直方圖能求出頻率分布表中的①②位置應填什么數(shù)，并補全頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖能統(tǒng)計出這500名志愿者得平均年齡．
（2）由表知，抽取的20人中，年齡低于30歲的有5人，故X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（1）由題意知頻率分布表中的①位置應填數(shù)字為：100-5-20-30-10=35，
②位置應填數(shù)字為：$\frac{30}{100}$=0.30．
補全頻率分布直方圖，如右圖所示．
平均年齡估值為：$\frac{1}{2}$（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（歲）．
（2）由表知，抽取的20人中，年齡低于30歲的有5人，故X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{2}{38}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{2}{38}$

EX=0×$\frac{21}{38}$+1×$\frac{15}{38}$+2×$\frac{2}{38}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．