Question

8．正項數列{a_n}中，a₁=4，a_n²=2（a_n+1）a_n-1-a_n（n≥2），則log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀=5150．

Answer 1

分析 由題意可判正項數列{a_n}為首項a₁=4，公比q=2的等比數列，由對數的運算和數列的求和公式化簡可得．

解答 解：∵正項數列{a_n}中，a₁=4，a_n²=2（a_n+1）a_n-1-a_n，
∴a_n²+a_n=2（a_n+1）a_n-1，∴a_n（a_n+1）=2（a_n+1）a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴正項數列{a_n}為首項a₁=4，公比q=2的等比數列，
∴l(xiāng)og₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀=log₂（a₁•a₂•…•a₁₀₀）
=log₂（a₁¹⁰⁰q^1+2+3+…+99）=log₂（4¹⁰⁰${2}^{\frac{（1+99）99}{2}}$）
=log₂（2⁵¹⁵⁰）=5150
故答案為：5150

點評 本題考查數列的綜合，涉及等比數列的判定和等差數列的求和公式以及對數的運算，屬中檔題．