Question

4．已知圓心為C的圓經(jīng)過A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上
（1）求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，0），端點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由A和B的坐標(biāo)，求出直線AB的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出線段AB垂直平分線的斜率，再由A和B的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率，得出線段AB垂直平分線的方程，與直線l聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解集得到圓心C的坐標(biāo)，再由C和A的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|的值，即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（2）設(shè)出Q和M的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把Q的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，然后代入圓（x+3）²+（y+2）²=25即可得到答案．

解答 解：（1）∵A（1，1），B（2，-2），
∴k_AB=$\frac{1-（-2）}{1-2}$=-3，
∴弦AB的垂直平分線的斜率為$\frac{1}{3}$，
又弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴弦AB的垂直平分線的方程為y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），即x-3y-3=0，
與直線l：x-y+1=0聯(lián)立，解得：x=-3，y=-2，
∴圓心C坐標(biāo)為（-3，-2），
∴圓的半徑r=|AC|=5，
則圓C的方程為（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）設(shè)Q（x₁，y₁），線段PQ的中點(diǎn)M為（x，y）．
則x₁=2x-5，y₁=2y①．
∵端點(diǎn)Q在圓（x+3）²+（y+2）²=25上運(yùn)動(dòng)，
∴（x₁+3）²+（y₁+2）²=25．
把①代入得：（2x-5+3）²+（2y+2）²=25．
∴線段APQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是${（{x-1}）^2}+{（{y+1}）^2}=\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的一般方程，考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了代入法，涉及的知識(shí)有：兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，垂徑定理，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，求出圓心坐標(biāo)和半徑是解本題的關(guān)鍵．