Question

19．某同學(xué)在用120分鐘做150分的數(shù)學(xué)試卷（分為卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分）時(shí)，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分?jǐn)?shù)分別為P和Q（單位：分），在每部分至少做了20分鐘的條件下，發(fā)現(xiàn)它們與投入時(shí)間m（單位：分鐘）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式$P=\frac{1}{5}m+36$，$Q=65+2\sqrt{3m}$．
（1）求數(shù)學(xué)總成績(jī)y（單位：分）與對(duì)卷Ⅱ投入時(shí)間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）如何計(jì)算使用時(shí)間，才能使所得分?jǐn)?shù)最高？

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的表達(dá)式，從而求出函數(shù)的定義域即可；（2）令t=$\sqrt{x}$$∈[{2\sqrt{5}，10}]$，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，從而求出函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）對(duì)卷Ⅱ用x分鐘，則對(duì)卷Ⅰ用（120-x）分鐘，
所以y=P+Q=65+2$\sqrt{3x}$+$\frac{1}{5}$（120-x）+36=-$\frac{1}{5}$x+2$\sqrt{3x}$+125，
其定義域?yàn)閇20，100]-----------（6分）
（2）令t=$\sqrt{x}$$∈[{2\sqrt{5}，10}]$，則函數(shù)為關(guān)于t的二次函數(shù)y=-$\frac{1}{5}$${t^2}+2\sqrt{3}t+125$=-$\frac{1}{5}$（t-$5\sqrt{3}$）²+140．
所以當(dāng)t=$5\sqrt{3}$，即x=75時(shí)，y_max=140
答：當(dāng)卷Ⅰ用45分鐘，卷Ⅱ用75分鐘時(shí)，所得分?jǐn)?shù)最高------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．