Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{ω}{2}$x，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{ω}{2}$x，-$\frac{1}{2}$）（ω＞0，x≥0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的第n（n∈N^*）個零點記作x_n（從左至右依次計數(shù)）．
（1）若ω=$\frac{1}{2}$，求x₂；
（2）若函數(shù)f（x）的最小正周期為π，設(shè)g（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）若ω=$\frac{1}{2}$時，可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{1}{2}$x$-\frac{1}{4}$的解析式，由f（x）=0，可得sin$\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$（x≥0），故有x=4kπ+$\frac{π}{3}$或x=4kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈z，由此可得第二個零點的值；
（2）由f（x）最小正周期為π，則ω=2，g（x）=$\sqrt{1+sin2x}$，因為周期為π，且在區(qū)間[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，其單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，由此可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin$\frac{ω}{2}$x•cos$\frac{ω}{2}$x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sinωx$-\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)ω=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{1}{2}$x$-\frac{1}{4}$．
令f（x）=0，得x=$4kπ+\frac{π}{3}$或x=$4kπ+\frac{5π}{3}$（k∈Z，x≥0）．
取k=0，得x₂=$\frac{5π}{3}$；
（2）∵f（x）最小正周期為π，則ω=2，
∴g（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|（sinx+cosx，0）|=$\sqrt{1+sin2x}$．
∵其周期為π，且在區(qū)間[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，其單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{4}$]和[$kπ-\frac{π}{4}$，$kπ+\frac{π}{4}$]，k∈N^*．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，函數(shù)的零點的定義和求法，三角函數(shù)的周期性，屬于中檔題．