Question

3．如圖，數(shù)軸x，y的交點(diǎn)為O，夾角為θ，與x軸、y軸正向同向的單位向量分別是$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$．由平面向量基本定理，對于平面內(nèi)的任一向量$\overrightarrow{OP}$，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，我們把（x，y）叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)（以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)）．
（1）若θ=90°，$\overrightarrow{OP}$為單位向量，且$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{e_1}$的夾角為120°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若θ=45°，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（{1，\sqrt{2}}）$，求向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{e_1}$的夾角；
（3）若θ=60°，求過點(diǎn)A（2，1）的直線l的方程，使得原點(diǎn)O到直線l的距離最大．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow{OP}$為單位向量，且$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{e_1}$的夾角為120°列式求解；
（2）由題意求出$|\overrightarrow{OP}|$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{{e}_{1}}$，代入數(shù)量積求夾角公式得答案；
（3）由題意得到A在直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系下坐標(biāo)的關(guān)系，求出直角坐標(biāo)系下名字條件的直線方程，轉(zhuǎn)化為斜坐標(biāo)系下得答案．

解答 解：（1）若θ=90°，$\overrightarrow{OP}$為單位向量，且$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{e_1}$的夾角為120°，
設(shè)P（x，y），則x²+y²=1，且cos120°=（$x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}$）$•\overrightarrow{{e}_{1}}$=x，
∴x=-$\frac{1}{2}$，代入x²+y²=1，得y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得P$（{-\frac{1}{2}，±\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$；
（2）若θ=45°，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（{1，\sqrt{2}}）$，則$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$|\overrightarrow{OP}{|}^{2}=（\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}=|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}+2\sqrt{2}|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|cos45°$$+2|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}$=$1+2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2=5$，
∴$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{5}$，
又$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{{e}_{1}}=（\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{1}}=|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}$$+\sqrt{2}|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|cos45°$=$1+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，
設(shè)向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{e_1}$的夾角為α，則$cosα=\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{{e}_{1}}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{{e}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×1}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴α=$arccos\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；
（3）若θ=60°，且點(diǎn)A（2，1），
由$x=x′+\frac{1}{2}y′，y=\frac{\sqrt{3}}{2}y′$，可得A在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴過點(diǎn)A（$\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）且使得原點(diǎn)O到直線l的距離最大的直線方程為$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{5}{\sqrt{3}}（x-\frac{5}{2}）$，
代入$x=x′+\frac{1}{2}y′，y=\frac{\sqrt{3}}{2}y′$，整理得5x′+4y′-14=0．
∴過點(diǎn)A（2，1），使得原點(diǎn)O到直線l的距離最大的直線方程為5x+4y-14=0．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是對題意的理解，屬中檔題．