Question

5．已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是x軸，它的弦PQ所在直線的方程為y=2x-1，弦長等于$\sqrt{15}$，求拋物線的C方程．

Answer 1

分析 由y=2x-1代入y²=2px，得4x²+（-4-2p）x+1=0，利用韋達(dá)定理，弦長公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p≠0），
由y=2x-1代入y²=2px，得4x²+（-4-2p）x+1=0，…（4分），
∴x₁+x₂=$\frac{2p+4}{4}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，…（5分）
由△=（-4-2p）²-16＞0得p＜-4或p＞0．…（7分）
弦長|AB|=$\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{2p+4}{4}）^{2}-1}$=$\sqrt{15}$．…（9分）
解得p=-6或p=2，…（11分）
所以拋物線方程為y²=-12x或y²=4x．…（12分）

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．