Question

20．△ABC的頂點(diǎn)A在y²=4x上，B，C兩點(diǎn)在直線x-2y+5=0上，若|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{5}$，則△ABC面積的最小值為1．

Answer 1

分析 由題意設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求得d，通過配方求得d的最小值，再由三角形的面積公式可得面積的最小值為1．

解答 解：由題意設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），
|BC|=2$\sqrt{5}$，
A到直線BC的距離d=$\frac{|\frac{{m}^{2}}{4}-2m+5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{m}^{2}-8m+20|}{4\sqrt{5}}$
=$\frac{|（m-4）^{2}+4|}{4\sqrt{5}}$≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)m=4時(shí)，d取得最小值，且為1．
則△ABC面積S=$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\sqrt{5}$d≥1．
且當(dāng)A（4，4）時(shí)，面積取得最小值，且為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．