Question

2．記（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N^*，n≥2）展開式中，x的系數(shù)為a_n，x²的系數(shù)為b_n，則$\frac{_{2014}-_{2015}}{{a}_{2014}}$=$\frac{3{×2}^{4037}}{{2}^{2014}-1}$．

Answer 1

分析 由條件求得x的系數(shù)為a_n以及x²的系數(shù)為b_n 的值，可得$\frac{_{2014}-_{2015}}{{a}_{2014}}$的值．

解答 解：（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N^*，n≥2）展開式中，
x的系數(shù)為a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
x²的系數(shù)為b_n =$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+（n-1）}}$=$\frac{\frac{1}{8}（1{-2}^{2n-3}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$-2^2n-5，
∴$\frac{_{2014}-_{2015}}{{a}_{2014}}$=$\frac{（\frac{1}{4}{-2}^{2023}）-（\frac{1}{4}{-2}^{2025}）}{1{-（\frac{1}{2}）}^{2014}}$=$\frac{{2}^{2025}{-2}^{2023}}{1-\frac{1}{{2}^{2014}}}$=$\frac{3{×2}^{4037}}{{2}^{2014}-1}$，
故答案為：$\frac{3{×2}^{4037}}{{2}^{2014}-1}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．