Question

13．f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+a²，g（x）=-2x³-3x²+12x-a，x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是a＞2或a＜-3．

Answer 1

分析 不等式整理為lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x＞-a²-a，只需求左式的最小值，構(gòu)造函數(shù)m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值即為函數(shù)的最小值．

解答 解：f（x）＞g（x）恒成立，
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{x}$+a²+2x³+3x²-12x+a＞0，
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x＞-a²-a，
令m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x，
m'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+6x²+6x-12=$\frac{（x-1）[6{x}^{2}（x+1）+6x（x+1）+1]}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，m'（x）＜0，m（x）遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）遞增，
∴m（x）≥m（1）=-6，
∴-6＞-a²-a，
∴a＞2或a＜-3，
故答案為a＞2或a＜-3．

點(diǎn)評(píng) 考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．