9.在直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“直角距離”為d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.
現(xiàn)有以下命題:
①若A,B是x軸上兩點(diǎn),則d(A,B)=|x1-x2|;
②已知點(diǎn)A(1,2),點(diǎn)B在線段x+y=1(x∈[0,1])上,則d(A,B)為定值;
③已知點(diǎn)A(2,1),點(diǎn)B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上,則d(A,B)的取值范圍是(1,5);
④若|AB|表示A,B兩點(diǎn)間的距離,那么|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d(A,B).
其中真命題的是①②③④(寫出所有真命題的序號)

分析 ①根據(jù)題意,可得y1=y2=0,根據(jù)定義直接判斷;
②利用定義可得出d(A,B)=|1-x|+|1+x|,利用x的范圍去絕對值可得結(jié)論;
③利用換元法得出則d(A,B)=3-2sin(θ+$\frac{π}{6}$),進(jìn)而求出d的范圍;
④根據(jù)均值定理公式ab≤${(\frac{a+b}{2})}^{2}$,結(jié)合定義和距離的內(nèi)在關(guān)系得出結(jié)論.

解答 解:①若A,B是x軸上兩點(diǎn),
∴y1=y2=0,則d(A,B)=|x1-x2|,故正確;
②已知點(diǎn)A(1,2),點(diǎn)B在線段x+y=1(x∈[0,1])上,則d(A,B)=|1-x|+|1+x|=2,故正確;
③已知點(diǎn)A(2,1),點(diǎn)B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上,
∴設(shè)x=$\sqrt{3}$sinθ,則y=cosθ,
則d(A,B)=3-2sin(θ+$\frac{π}{6}$),故d的取值范圍是(1,5),故正確;
④若|AB|表示A,B兩點(diǎn)間的距離,
設(shè)a=|x1-x2|,b=|y1-y2|,
∴ab≤${(\frac{a+b}{2})}^{2}$,d2=a2+b2+2ab,
∴d2-a2-b2=2ab≤${(\fraczfxxdnq{2})}^{2}$,
∴|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d(A,B),故正確.
故答案為:①②③④.

點(diǎn)評 考查了對新定義類型題的理解和利用學(xué)過的直接解決問題的能力.

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