Question

9．在直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
現(xiàn)有以下命題：
①若A，B是x軸上兩點(diǎn)，則d（A，B）=|x₁-x₂|；
②已知點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B在線(xiàn)段x+y=1（x∈[0，1]）上，則d（A，B）為定值；
③已知點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上，則d（A，B）的取值范圍是（1，5）；
④若|AB|表示A，B兩點(diǎn)間的距離，那么|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（A，B）．
其中真命題的是①②③④（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意，可得y₁=y₂=0，根據(jù)定義直接判斷；
②利用定義可得出d（A，B）=|1-x|+|1+x|，利用x的范圍去絕對(duì)值可得結(jié)論；
③利用換元法得出則d（A，B）=3-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），進(jìn)而求出d的范圍；
④根據(jù)均值定理公式ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$，結(jié)合定義和距離的內(nèi)在關(guān)系得出結(jié)論．

解答 解：①若A，B是x軸上兩點(diǎn)，
∴y₁=y₂=0，則d（A，B）=|x₁-x₂|，故正確；
②已知點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B在線(xiàn)段x+y=1（x∈[0，1]）上，則d（A，B）=|1-x|+|1+x|=2，故正確；
③已知點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上，
∴設(shè)x=$\sqrt{3}$sinθ，則y=cosθ，
則d（A，B）=3-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），故d的取值范圍是（1，5），故正確；
④若|AB|表示A，B兩點(diǎn)間的距離，
設(shè)a=|x₁-x₂|，b=|y₁-y₂|，
∴ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$，d²=a²+b²+2ab，
∴d²-a²-b²=2ab≤${（\fracw75tjxn{2}）}^{2}$，
∴|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（A，B），故正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 考查了對(duì)新定義類(lèi)型題的理解和利用學(xué)過(guò)的直接解決問(wèn)題的能力．