Question

10．有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球和1個紅球．乙箱子里裝有2個白球、1個黑球和2個紅球．這些球除頹色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出3個球，若摸出的6個球中白球個數(shù)比黑球多，黑球的個數(shù)比紅球多，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）
（1）求在1次游戲中，摸出3個白球、2個黑球、1個紅球的概率；
（2）設(shè)在2次游戲中獲獎次數(shù)為X，求數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“一次游戲中摸出3個白球，2個黑球，1個白球”為事件A₁，包括三種情況：①甲袋中摸出2白1紅，乙袋中摸出1白1紅1黑；②甲袋中摸出1白2黑，乙袋中摸出2白1紅；③甲袋中摸出1白1紅1黑，乙袋中摸出2白1黒，分別求出相應(yīng)概率相加即得到在1次游戲中，摸出3個白球、2個黑球、1個紅球的概率．
（2）求出1次游戲獲獎的概率為$\frac{49}{200}$，從而X～B（2，$\frac{49}{200}$），由此能求出E（X）．

解答 解：（1）設(shè)“一次游戲中摸出3個白球，2個黑球，1個白球”為事件A₁，
包括三種情況：
①甲袋中摸出2白1紅，乙袋中摸出1白1紅1黑，概率為：${p}_{1}=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{25}$．
②甲袋中摸出1白2黑，乙袋中摸出2白1紅，概率為：${p}_{2}=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{100}$．
③甲袋中摸出1白1紅1黑，乙袋中摸出2白1黒，概率為：${p}_{3}=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{50}$，
∴P（A₁）=$\frac{3}{25}+\frac{3}{100}+\frac{3}{50}=\frac{21}{100}$．
（2）設(shè)“一次游戲中摸出4個白球，2個黑球，0個紅球”為事件A₂，
P（A₂）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{100}$，
設(shè)“一次游戲中摸出5個白球，1個黑球，0個紅球”為事件A₃，
P（A₃）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{200}$，
∴1次游戲獲獎的概率$p=\frac{21}{100}+\frac{3}{100}+\frac{1}{200}$=$\frac{49}{200}$，
∴X～B（2，$\frac{49}{200}$），
∴E（X）=2×$\frac{49}{200}$=$\frac{49}{100}$．

點評 本題考查隨機事件概率的古典概型、二項分布的期望公式、排列組合等知識，同時考查抽象概括、分類討論、運算求解的能力和應(yīng)用意識．