Question

10．有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球和1個(gè)紅球．乙箱子里裝有2個(gè)白球、1個(gè)黑球和2個(gè)紅球．這些球除頹色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸出的6個(gè)球中白球個(gè)數(shù)比黑球多，黑球的個(gè)數(shù)比紅球多，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）
（1）求在1次游戲中，摸出3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的概率；
（2）設(shè)在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)為X，求數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“一次游戲中摸出3個(gè)白球，2個(gè)黑球，1個(gè)白球”為事件A₁，包括三種情況：①甲袋中摸出2白1紅，乙袋中摸出1白1紅1黑；②甲袋中摸出1白2黑，乙袋中摸出2白1紅；③甲袋中摸出1白1紅1黑，乙袋中摸出2白1黒，分別求出相應(yīng)概率相加即得到在1次游戲中，摸出3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的概率．
（2）求出1次游戲獲獎(jiǎng)的概率為$\frac{49}{200}$，從而X～B（2，$\frac{49}{200}$），由此能求出E（X）．

解答 解：（1）設(shè)“一次游戲中摸出3個(gè)白球，2個(gè)黑球，1個(gè)白球”為事件A₁，
包括三種情況：
①甲袋中摸出2白1紅，乙袋中摸出1白1紅1黑，概率為：${p}_{1}=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{25}$．
②甲袋中摸出1白2黑，乙袋中摸出2白1紅，概率為：${p}_{2}=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{100}$．
③甲袋中摸出1白1紅1黑，乙袋中摸出2白1黒，概率為：${p}_{3}=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{50}$，
∴P（A₁）=$\frac{3}{25}+\frac{3}{100}+\frac{3}{50}=\frac{21}{100}$．
（2）設(shè)“一次游戲中摸出4個(gè)白球，2個(gè)黑球，0個(gè)紅球”為事件A₂，
P（A₂）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{100}$，
設(shè)“一次游戲中摸出5個(gè)白球，1個(gè)黑球，0個(gè)紅球”為事件A₃，
P（A₃）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{200}$，
∴1次游戲獲獎(jiǎng)的概率$p=\frac{21}{100}+\frac{3}{100}+\frac{1}{200}$=$\frac{49}{200}$，
∴X～B（2，$\frac{49}{200}$），
∴E（X）=2×$\frac{49}{200}$=$\frac{49}{100}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)事件概率的古典概型、二項(xiàng)分布的期望公式、排列組合等知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、分類(lèi)討論、運(yùn)算求解的能力和應(yīng)用意識(shí)．