Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足：S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2，解得a₁．∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=3a_n-1-2．變形為：a_n-1=3（a_n-1-1）．即可證明．
（2）由（1）可得：a_n-1=3ⁿ，即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，∴n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2，解得a₁=4．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n+n-3-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-4）$，化為：a_n=3a_n-1-2．
變形為：a_n-1=3（a_n-1-1）．
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項為3，公比為3．
（2）解：由（1）可得：a_n-1=3ⁿ，
解得a_n=3ⁿ+1．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．