Question

10．已知：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$在同一平面內(nèi)，$\overrightarrow{a}$=（2，1）．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求$\overrightarrow{c}$；
（Ⅱ）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （I）求出$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$，即可得出$\overrightarrow{c}$；
（II）令（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入投影公式即可．

解答 解：（I）∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$=2，又$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$或$\overrightarrow{c}$=-2$\overrightarrow{a}$．
∴$\overrightarrow{c}$=（4，2）或$\overrightarrow{c}$=（-4，-2）．
（II）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{5}{2}$．
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量共線，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于中檔題．