Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₆=32，S_n是等差數(shù)列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）列方程求出{a_n}的公比和{b_n}的公差，即可得出其通項公式；
（2）分別求出{a_n}和{b_n}的前n項和，將兩數(shù)列的前n項和相加即為T_n．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，則${a_6}={a_1}{q^5}$，
即q⁵=32，∴q=2，${a_n}={2^{n-1}}$．
設(shè){b_n}的公差為d，則${S_5}=5{b_1}+\frac{5×4}{2}d=35$，即15+10d=35，解得d=2，
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）設(shè){a_n}的前n項和為A_n，
則A_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
S_n=nb₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+2n，
∵c_n=a_n+b_n，
∴T_n=A_n+S_n=2ⁿ+n²+2n-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，屬于中檔題．