Question

20．已知函數(shù)f（x）=xe^ax+lnx-e（a∈R）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）設(shè)g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-e，若函數(shù)h（x）=x•[f（x）-g（x）]在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（II）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x），由題意可得x²e^ax-1=0在（0，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)．對(duì)a討論，注意運(yùn)用單調(diào)性和極值判斷，即可得到a的范圍．

解答 解：（I）y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵a=1，∴f（x）=xe^x+lnx-e，f（1）=0，
∴$f'（x）=（{x+1}）{e^x}+\frac{1}{x}$，∴f'（1）=2e+1，
所以函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（2e+1）（x-1）；
（II）$h（x）=x•[{f（x）-g（x）}]=x[{x{e^{ax}}+lnx-e-（{lnx+\frac{1}{x}-e}）}]=x•（{x{e^{ax}}-\frac{1}{x}}）$
=x²e^ax-1在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，即x²e^ax-1=0在（0，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)．
令φ（x）=x²e^ax-1，φ'（x）=ax²e^ax+2xe^ax=xe^ax（ax+2），
i、當(dāng)a≥0時(shí)，φ'（x）=xe^ax（ax+2）＞0，∴y=φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由零點(diǎn)存在定理，y=φ（x）在（0，+∞）至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)發(fā)生矛盾．
ii、當(dāng)a＜0時(shí)，xe^ax（ax+2）=0，則$x=-\frac{2}{a}$，

x	$（{0，-\frac{2}{a}}）$	$-\frac{2}{a}$	$（{-\frac{2}{a}，+∞}）$
φ'（x）	+	0	-
φ（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

因?yàn)棣眨?）=-1，當(dāng)x→+∞，φ（x）→-1，
所以要使φ（x）=x²e^ax-1在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
則$φ（{-\frac{2}{a}}）＞0$即可，得${a^2}＜\frac{4}{e^2}$，又因?yàn)閍＜0，所以$-\frac{2}{e}＜a＜0$．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{-\frac{2}{e}，0}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．