Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x-a）²+y²=a²截得的弦長為$\sqrt{2}$a．則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓（x-a）²+y²=a²截得的弦長為$\sqrt{2}$a，可得$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx+ay=0，
∵漸近線被圓（x-a）²+y²=a²截得的弦長為$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴c²=2b²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．