Question

15．若雙曲線(xiàn)C與橢圓x²+4y²=64有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線(xiàn)方程是$x+\sqrt{3}y=0$，求雙曲線(xiàn)C的方程．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為$x+\sqrt{3}y=0$，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x²-3y²=λ，即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}$=1，可得λ+$\frac{1}{3}$λ=48，即可求出雙曲線(xiàn)的方程．

解答 解：橢圓x²+4y²=64的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4$\sqrt{3}$，0），
∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4$\sqrt{3}$，0），
∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為$x+\sqrt{3}y=0$，
∴設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x²-3y²=λ，
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}$=1
∴λ+$\frac{1}{3}$λ=48，
∴λ=36，
∴雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程，考查橢圓、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．