Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+4，（n∈N^*）且a₁=1，
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=3a_n+4計(jì)算$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a₁=1可知a₁+2=3，進(jìn)而a_n=3ⁿ-2，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=3a_n+4，
∴$\frac{{{a_{n+1}}+2}}{{{a_n}+2}}=\frac{{3{a_n}+6}}{{{a_n}+2}}=3，（n∈{N^*}）$，
∴{a_n+2}是公比為3等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵a₁=1，
∴a₁+2=1+2=3，
∴a_n+2=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2，
∴${S_n}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-2n=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}-2n$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的判定、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．