Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{π}{3}$x，sin$\frac{π}{3}$x），$\overrightarrow$=A（cos2φ，-sin2φ），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（A＞0，|φ|$＜\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，P、Q分別是該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，A），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1，0），△PRQ的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求A及φ的值；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移2個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得f（x）的解析式，再依據(jù)函數(shù)的周期性以及△PRQ的面積，求得A及φ的值．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的減區(qū)間求得函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=Acos$\frac{π}{3}$xcos2φ-Asin$\frac{π}{3}$xsin2φ=Acos（$\frac{π}{3}$x+2φ），
故f（x）的周期為T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，根據(jù)△PRQ的面積為$\frac{1}{2}$×A×$\frac{T}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求得A=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P（1，$\sqrt{3}$），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）的解析式可得Acos（$\frac{π}{3}$+2φ）=1，
故$\frac{π}{3}$+2φ=2kπ，k∈z，即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$，結(jié)合|φ|$＜\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{6}$，故 f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移2個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$cos[$\frac{π}{3}$（x+2）-$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）的圖象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得6k-1≤x≤6k+2，可得g（x）的減區(qū)間為[6k-1，6k+2]，k∈z．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的減區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．