Question

15．某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸，每噸原材料可創(chuàng)造利潤12萬元．該公司通過設(shè)備升級，生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸，且每噸原材料創(chuàng)造的利潤提高0.5x%；若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開發(fā)的B產(chǎn)品，每噸原材料創(chuàng)造的利潤為12（a-$\frac{13}{1000}$x）萬元（a＞0）．
（Ⅰ）若設(shè)備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤不低于原來生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤，求x的取值范圍．
（Ⅱ）若生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤始終不高于設(shè)備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，12（500-x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范圍．
（Ⅱ）利用生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤始終不高于設(shè)備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤，建立不等式，即可求a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，12（500-x）（1+0.5x%）≥12×500，
∴x²-300x≤0，
∵x＞0，
∴0＜x≤300；
（Ⅱ）生產(chǎn)B產(chǎn)品創(chuàng)造利潤12（a-$\frac{13}{1000}$x）x萬元，設(shè)備升級后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤12（500-x）（1+0.5x%），
∴12（a-$\frac{13}{1000}$x）x≤12（500-x）（1+0.5x%），
∴a≤$\frac{x}{125}$+$\frac{500}{x}$+$\frac{3}{2}$．
∵$\frac{x}{125}$+$\frac{500}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{125}•\frac{500}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{125}$=$\frac{500}{x}$，即x=250時(shí)等號成立，
∴0＜a≤5.5，
∴a的最大值是5.5．

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．