Question

3．已知$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$+$\frac{z}{c}$=1且$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$+$\frac{c}{z}$=0，試化簡$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知所給的兩個式子互為倒數(shù)，設(shè)$\frac{x}{a}$=u，$\frac{y}$=v，$\frac{z}{c}$=w，對已知條件化簡，
再利用公式（u+v+w）²=u²+v²+w²+2（uv+wv+uw），即可求出答案．

解答 解：設(shè)$\frac{x}{a}$=u，$\frac{y}$=v，$\frac{z}{c}$=w，則
u+v+w=1，①
$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$+$\frac{1}{w}$=0，②
由②得，$\frac{vw+uw+uv}{uvw}$=0，
∵u、v、w都不為0，
∴vw+uw+uv=0；
把①兩邊平方得，
u²+v²+w²+2（uv+vw+wu）=1，
∴u²+v²+w²=1，
即$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}$=1．

點評 本題考查了換元法的應(yīng)用問題，也考查了公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）的靈活應(yīng)用問題．